微积分习题与技巧

多元函数微分学

graph LR
基本概念---平面点集的基本概念
基本概念---极限
基本概念---连续
基本概念---偏导数
基本概念---可微
基本概念---偏导数的连续性
多元函数微分法则---链式求导规则
多元函数微分法则---id["隐函数存在定理(公式法)"]
多元函数极值与最值---概念
多元函数极值与最值---无条件极值---隐函数
无条件极值---显函数
多元函数极值与最值---条件极值与拉格朗日乘数法---闭区域边界上的最值
条件极值与拉格朗日乘数法---闭区域上的最值

11.1

$设f(0,0)=0,当(x,y)\neq(0,0)时，f(x,y)取下列哪个函数可以使f(x,y)在(0,0)点连续$

$(\rm A)\frac{xy}{x^2+y^2}\qquad(\rm B)\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \qquad(\rm C)\frac{x^2y}{x^2+y^2}\qquad(\rm D)\frac{x^2y}{x^4+y^2}$

技巧：

$设f(x,y)=\frac{a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}y+\cdots+a_{1}xy^{m-1}+a_0y^m}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}y+\cdots+b_{1}xy^{n-1}+b_0y^n},分子与分母互质$

考察$(x,y)\rightarrow(0,0)$时的极限，可用下述结论：

1. $ 当m>n时 $

$x,y分别带入1，看分母\\ \\ 若Q(1,y)与Q(x,1)均无零点，则\lim\limits_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)=0;\\ 若Q(1,y)与Q(x,1)有零点，则\lim\limits_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)不存在;\\$

2. $ 当m\leq n时 $

$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)不存在.$

感觉不如代入法

• 极小值点不是一定是驻点
• 二元函数求极值若有三角函数，注意周期性解
• 若d中含有绝对值项不方便研究极值，可转化为$d^2$求解

二重积分

• 使用二重积分计算体积时，被积函数要加绝对值

• 比较二重积分大小，若积分区域相同，比较被积函数大小

  先以零为界限，再看函数大小关系（如$\sin x<x$）

  利用普通对称性，轮换对称性

• 计算二重积分，先考虑对称性，可以通过添加辅助线使原积分可以简化一部分再求解

• 图形不规则，可用割补法，分开积分

• $积分区间能用[-\pi,\pi]的尽量用，而不是[0,2\pi],更方便使用奇偶函数对称性$

无穷级数

• $若\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{u_{n+1}}{u_n}>1,则\sum\limits_{n=1}^\infty u_n发散$（√）

  $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{u_{n+1}}{u_n}>1>0, \rightarrow n充分大时，\frac{u_{n+1}}{u_n}>0,即u_n与u_{n+1}同号，所以\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$是正向级数$，可以使用比值判别法$

• 复杂的式子可以通过展开，等价，研究敛散性（p级数）

• 复杂的式子可以通过拆开

• 幂级数的和函数都是连续函数

• $n(n+1)x^{n-1}=(x^{n+1})^{\prime\prime}$

• 求和关键在于求导消去分母（可能需要乘除x的n次方）、观察、分解、解方程

• 数列极限与单调有界准则联动